数学的なアレ。

レベルは低いですが数学について色々なことを書いていきます！

等差数列の和の公式の証明

数列数学B

等差数列とは、隣り合う2項の差がどこをとっても等しいような数列です。

例えば、 $1,3,5,7,9$ ならば、どの隣り合う2項をとってもその差は $2$ です。

一般に、等差数列は次のような形をしています。

$\{S_{n}\}=a,a+d,a+2d,\ldots ,a+(n-1)d$

ここで、 $n$ を項数、 $a$ を初項、 $d$ を公差といいます。

そして、等差数列 $\{S_n\}$ のすべての項を足し合わせたものを等差数列の和といい、その和を $n,a,d$ を用いて表したものを等差数列の和の公式といいます。

$($ 等差数列の和の公式 $)$
$S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(a+(n-1)d)=\displaystyle \frac{1}{2} n(2a+(n-1)d)$

ここで、 $S_{n}$ を等差数列の和としました。

以下、この公式の証明を行います。

定番の方法ですが、まず小さい順(昇順)に和を書き並べていきます。

$S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(a+(n-1)d)$

次に、大きい順(降順)に和を書き並べます。

つまり、先ほどと逆順になります。

$S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\cdots +a$

そして、これをそのまま縦に足していきます。

$2S_{n}=(2a+(n-1)d)+(2a+(n-1)d)+\cdots +(2a+(n-1)d)$

例えば、 $a$ と $(a+(n-1)d)$ を足すと $(2a+(n-1)d)$ となります。

こうすれば、 $(2a+(n-1)d)$ の項が $n$ 個出来上がるので

$2S_{n}=n(2a+(n-1)d)$

と書くことができます。

あとは両辺を $2$ で割れば

$S_{n}=\displaystyle \frac{1}{2} n(2a+(n-1)d)$

となり、先ほどの公式と一致しました。