数学的なアレ。

レベルは低いですが数学について色々なことを書いていきます！

等比数列の和の公式の証明

数列数学B

等比数列とは、隣り合う2項の比がどこをとっても等しいような数列です。

例えば、 $1,2,4,8,16$ ならば、どの隣り合う2項をとってもその比は2です。

一般に、等比数列は次のような形をしています。

$\{S_{n}\}=a,ar,ar^2,\ldots ,ar^{(n-1)}$

ここで、 $n$ を項数、 $a$ を初項、 $r$ を公比といいます。

そして、等比数列 $\{S_{n}\}$ のすべての項を足し合わせたものを等比数列の和といい、その和を $n,a,r$ を用いて表したものを等比数列の和の公式といいます。

$($ 等比数列の和の公式 $)$
$S_{n}=a+(ar)+(ar^2)+\cdots +(ar^{(n-1)})=\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ 　 $(r\neq 1)$

ここで、 $S_{n}$ を等比数列の和としました。

この場合、 $r=1$ だといわゆるゼロ割りが起こってしまうので $r\neq 1$ という条件付きです。

以下、この公式の証明を行います。

定番の方法ですが、まず普通に $S_{n}$ を書きます。

$S_{n}=a+(ar)+(ar^2)+\cdots +(ar^{(n-1)})$

次に、 $S_{n}$ を $r$ 倍した式を作ります。

$rS_{n}=(ar)+(ar^2)+(ar^3)+\cdots +(ar^n)$

右辺には分配法則を用いました。

そして、 $S_{n}$ から $rS_{n}$ を引きます。

$S_{n}-rS_{n}=a-(ar^n)$

右辺は両端以外の項が打ち消し合ってうまく消えてくれます。

あとは少し整理して

$S_{n}(1-r)=a(1-r^n)$

両辺を $1-r$ で割れば

$S_{n}=\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

となり、先ほどの公式と一致しました。